bonjour pouvez vous m'aider pour la 3 de l'exo 2 svp merci d'avance de votre réponse bonne journée ​

Réponse :

soit la fonction f définie sur R par, f(x) = 4 - x²

1) déterminer la fonction dérivée de f, puis les nombres dérivés f '(-2) , f '(0) puis f '(1)

la fonction dérivée de f est f '(x) = - 2 x

le nombre dérivé f '(a) = lim [f(a+h) - f(a)]/h

                                        h→0

or f '(-2) = lim [f(-2 + h) - f(-2)]/h = lim (-h²+4 h)/h = lim (4 - h) = 4

                h→0                              h→0                     h→0

f(- 2 + h) = 4 - (- 2+h)²

              = 4 - (h²-4 h + 4)

              = 4 - h² + 4 h - 4

              = - h² + 4 h

f(- 2) = 4 - (-2)² = 0  

f '(0) = lim (f(h) - f(0))/h = lim ((4 -h²) - 4)/h = lim (- h) = 0

          h→0                      h→0                        h→0

f '(1) = lim [f(1+h) - f(1)]/h = lim (- 2h - h²)/h = lim(- 2 - h) = - 2

         h→0                         h→0                     h→0

f(1+h) = 4 - (1+h)²

        = 4 -(1 +2 h + h²)

        = 4 - 1 - 2 h - h²

        = 3 - 2 h - h²

f(1) = 3

2) déterminer les équations réduites des tangentes à la courbe aux points d'abscisses - 2 ; 0 puis 1

L'équation de la tangente au point d'abscisse a s'écrit :

 y = f(a) + f '(a)(x-a)

a) au point d'abscisse - 2

f '(- 2) = 4

f(-2) = 0

y = f(-2) + f '(-2)(x + 2)

  =  0 + 4(x +2)

  = 4 x + 8

Donc l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse - 2 est : y = 4 x + 8

b) au point d'abscisse 0

f '(0) = 0

f(0) = 4

y = f(0) + f '(0)(x - 0)

  =  4  + 0

donc y = 4

c) au point d'abscisse 1

f '(1) = - 2

f (1) = 3

y = f(1) + f '(1)(x-1)

  = 3 - 2(x-1)

  = 3 - 2 x + 2

  = - 2 x + 5

Donc y = - 2 x + 5

3) je vous laisse faire le graphe

Explications étape par étape