bonjour jai un exercice que je n'arrive vraiment pas a resoudre ​

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Partie A :

1) En 2018, on dispose de 57000+6000=63000 ouvrages soit 63 milliers.

Donc U(0)=63

2)Chaque année, on supprime 4% des ouvrages de l'année précédente donc donc on multiplie ce nb par (1-4/100) soit 0.96.

Mais on ajoute 7 milliers de livres noeufs. Donc :

U(n+1)=U(n)*0.96+7

3) Cet algorithme calcule le nb minimum d'années à attendre pour que la médiathèque contienne plus de 100 000 ouvrages.

4) Avec un tableau Excel , je trouve qu'il faut 10 ans donc en 2028.

Partie B :

1) On change :

U <-- U*0.96+7 en :

U <-- U*0.96+5

2) Donc :

V(n+1)=0.96*V(n)+5

W(n)=V(n)-125

W(n+1)=V(n+1)-125=0.96*V(n)+5-125=0.96*V(n)-120

On met 0.96 en facteur :

W(n+1)=0.96[V(n)-125]

W(n+1)=0.96*W(n)

qui prouve que (W(n)) est une suite géométrique de raison q=0.96 et de 1er terme W(0)=V(0)-125=63-125=-62

3) On sait que pour une suite géométrique :

W(n)=W(0)*q^n

soit ici :

W(n)=-62*0.96^n

qui donne :

V(n)=W(n)+125

soit :

V(n)=125-62*0.96^n

4)

On résout :

125 -62*0.96^n > 100

62*0.96^n < 125-100

62*0.96^n < 25

0.96^n < (25/62)

Tu connais la fct ln(x) ?

Si oui :

ln(0.96^n) < ln(25/62)

n*ln0.96 < ln(25/62)

n > ln(25/62)/ln0.96 ---->On change < en > car ln0.96 est négatif.

qui donne n > 22.2...

Donc à partir de la 23ème année soit 2018+23=..

Si tu ne connais pas la fct ln(x) , tu procèdes par tâtonnements.