bonjour! comment factoriser: x³+x²+x+1 ? merci

Réponse : Bonjour,

-1 est racine de ce polynôme car:

[tex](-1)^{3}+(-1)^{2}-1+1=-1+1-1+1=0[/tex].

Donc [tex]x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(ax^{2}+bx+c)[/tex], avec [tex]a,b,c[/tex] trois réels à déterminer.

On a:

[tex](x+1)(ax^{2}+bx+c)=ax^{3}+bx^{2}+cx+ax^{2}+bx+c[/tex].

Par identification aux coefficients, on a:

[tex]a=1\\ b+a=1\\c+b=1 \Rightarrow b=1-c=1-1=0\\c=1[/tex].

Et donc: [tex]x^{3}+x^{2}+x+1=(x+1)(x^{2}+1)[/tex].

réponse

Explications étape par étape

Bonjour

factoriser: x³+x²+x+1

On remarque une racine simple : -1

x³+x²+x+1 = (x + 1)(ax² + bx + c)

x³+x²+x+1 = ax³ + bx² + cx + ax² + bx + c

x³+x²+x+1 = ax³ + (a + b)x² + (b + c)x + c

a = 1

a + b = 1

b + c = 1

c = 1

b = 1 - 1 = 0

x³+x²+x+1 = (x + 1)(x² + 1)