Bonjour je suis en Ts et j'ai un exercice de maths a faire la mais je n'y arrive pas sa doit faire plus de 2 h que je suis dessus pouvez vous m'aidez svp. Merci

Réponse : Bonjour,

1) D'après le tableau:

[tex]f(-\frac{1}{2})=0 \Leftrightarrow \ln(a \times (-\frac{1}{2})^{2}+b \times -\frac{1}{2}+c)=0 \Leftrightarrow \ln(\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c)=0\\\Leftrightarrow \frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=1\\f(\frac{1}{4})=\ln(a \times (\frac{1}{4})^{2}+b \times \frac{1}{4}+c)=\ln(\frac{5}{8}) \Leftrightarrow \ln(\frac{1}{16}a+\frac{1}{4}b+c)=\ln(\frac{5}{8}) \Leftrightarrow \frac{1}{16}a+\frac{1}{4}b+c=\frac{5}{8}[/tex].

Puis on sait que [tex]f'(0)=0[/tex], donc on calcule la dérivée de [tex]f[/tex]:

[tex]f'(x)=\frac{2ax+b}{ax^{2}+bx+c}\\f'(0)=0 \Leftrightarrow \frac{2a \times 0+b}{a \times 0^{2}+b \times 0+c}=0 \Leftrightarrow \frac{b}{c}=0 \Leftrightarrow b=0, \: c \ne 0[/tex].

On calcule donc maintenant [tex]a[/tex] et [tex]c[/tex]:

[tex]\left \{ {{\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}b+c=1} \atop {\frac{1}{16}a+\frac{1}{4}b+c=\frac{5}{8}}} \right.\\ \\b=0, \: donc:\\\left \{ {{\frac{1}{4}a+c=1 } \atop {\frac{1}{16}a+c=\frac{5}{8}}} \right.[/tex].

On effectue la soustraction de la première équation du système et de la deuxième équation multiplié par 4:

[tex]\frac{1}{4}a+c-\frac{1}{4}a-4c=1-4 \times \frac{5}{8}\\c-4c=1-\frac{5}{2}\\-3c=-\frac{3}{2}\\c=-\frac{3}{2} \times -\frac{1}{3}=\frac{1}{2}[/tex].

On calcule enfin [tex]a[/tex], en considérant la première équation du système:

[tex]\frac{1}{4}a+c=1\\c=\frac{1}{2} , \: donc:\\\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}=1\\\frac{1}{4}a=\frac{1}{2}\\a=\frac{1}{2} \times 4=2[/tex].

Et donc: [tex]f(x)=\ln(2x^{2}+\frac{1}{2})[/tex].

2)a) On a:

[tex]f'(x)=\frac{2 \times 2x}{2x^{2}+\frac{1}{2}}=\frac{4x}{\frac{4x^{2}+1}{2}}=4x \times \frac{2}{4x^{2}+1}=\frac{8x}{4x^{2}+1}[/tex].

b) Étudions le signe de [tex]f'(x)[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

Le dénominateur [tex]4x^{2}+1 >0[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex], donc [tex]f'(x)[/tex] est du signe de [tex]8x[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex].

Et on a: [tex]8x \geq 0[/tex], si x[tex]x \geq 0[/tex], et [tex]8x \leq 0[/tex], si [tex]x \leq 0[/tex].

On a donc le tableau suivant:

x        -∞                      0                              +∞

f'(x)                -            Ф               +

f(x)    (décroissant)   f(0)      (croissant)

On retrouve bien les variations du tableau.

c) D'après la tableau de variations, le minimum de [tex]f[/tex], est atteint en [tex]x=0[/tex], et la valeur de ce minimum est [tex]f(0)[/tex], donc:

[tex]f(0)=\ln(2 \times 0^{2}+\frac{1}{2})=\ln(\frac{1}{2})=\ln(1)-\ln(2)=-\ln(2)[/tex].

Donc la valeur exacte du minimum de [tex]f[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex] est [tex]-\ln(2)[/tex].