Exercice 1: Dans ce problème, toutes les longueurs sont exprimées en centimètres. On considère le triangle ABC rectangle en B. M ∈ {CB] N ∈ [CA] (MN)//(AB) On d

A) Justifier mesure de NM
Avec Thalès
[tex] \frac{AB}{MC}= \frac{AB}{NM} [/tex]
Je remplace par les valeurs :
[tex] \frac{8}{5} = \frac{6}{NM} [/tex]
Je résous comme une équation
[tex]NM = \frac{6 * 5}{8} = 3,75[/tex]
NM mesure 3,75 cm

B.1) Aire de CMN (triangle rectangle en M)
A = [tex] \frac{base * hauteur}{2} [/tex]
A = [tex] \frac{5 * 3,75}{2} [/tex] = 9,375 cm²
L'aire du triangle CMN est de 9,375 cm²

B.2) Aire de ABC (triangle rectangle en B)
A = [tex] \frac{base * hauteur}{2} [/tex]
A = [tex] \frac{8 * 6}{2} [/tex] = 24 cm²
L'aire du triangle ABC est de 24 cm²

B.3) aire du quadrilatère ANMB 
ANMB est un trapèze rectangle.
Aire = [tex] \frac{1}{2} [/tex]×(grande base + petite base)×hauteur
A = [tex] \frac{1}{2} [/tex] × (6 + 3,75) × 3 = 14,625 cm²
L'aire du trapèze ANMB est de 14,625 cm²

C.1) Comparaison de l'aire de CMN et de ANMB
D'après les calculs on peut déduire que l'Aire ANMB > Aire CMN
différence d'aire =>14,625 - 9,375 = 5,25 cm² le trapèze est plus grand que le triangle)

C.2) Pour que les 2 aires soient égales, doit-on placer le point M à plus ou moins de 5 cm du point C? 
On doit rétrécir l'aire du trapèze ANMB donc le point M devra être placé à plus de 5 cm du point C

Partie B: Etude d'une fonction 
CM = x
A. Justifier que 0≤ x ≤ 8 
le rapport de proportionnalité entre NM et AB ainsi que celui de BC avec MC a été établi dans la partie A  
Ainsi AB = [tex] \frac{3}{4} [/tex] de BC vérification [tex] \frac{8 * 3}{4} = 6 cm[/tex] d'où NM = [tex] \frac{3}{4} [/tex] de MC

B. Calcul de l'aire de CNM avec MC = x (MN = [tex] \frac{3}{4} x[/tex] 
C. 1)Démontrer que l'aire du triangle CNM est égale à 3/8x² 
Aire d'un triangle = [tex] \frac{base * hauteur}{2} [/tex]
Aire = [tex]x[/tex] × [tex] \frac{NM}{2} [/tex]
Aire = [tex]x[/tex] × [tex] \frac{ \frac{3}{4} x}{2} [/tex] = [tex] \frac{3}{8} x^{2} [/tex]
L'aire de CNM = [tex] \frac{3}{8} x^{2} [/tex]

2)Définir la fonction f qui, au nombre x fait correspondre l'aire du triangle CNM.
F(x) est donc égale à [tex] \frac{3}{8} x^{2} [/tex] 

D. A coté on a représenté la fonction f.
Je ne dispose pas de cette représentation donc...
J'ai calculé simplement pour des valeurs de x à partir de l'aire 3/8 x²
X = 1 -> 0,375
X = 2 -> 1,5
X= 3 -> 3,375
X = 4 -> 6
X = 5 -> 9,375
enfin la valeur maximale x = 8 -> 24
La courbe est une parabole (comme toutes fonctions en x²)

Ainsi tu peux traiter la question suivante pour la représentation graphique
Déterminer graphiquement f(5) et comparer ce résultat avec la réponse à la question Partie A.B 1) 
F(5) est à comparer avec f(x) = [tex] \frac{3}{8} x^{2} [/tex]
[tex] \frac{3 * 5^{2} }{8} = \frac{3*25}{8} = \frac{75}{8} = 9,375 [/tex]
Dans les deux cas on trouve bien 9,375 cm²

E. Dans cette question, l'aire du triangle CNM est égale à celle du quadrilatère ANMB 
1) Justifier que l'aire du triangle CNM est égale à 12. 
Prenons 12 = [tex] \frac{3}{8} x^{2} [/tex]
[tex] \frac{3 x^{2} }{8} - 12 = 0[/tex]
[tex]3 x^{2} - 96 = 0[/tex]
[tex] x^{2} = \frac{96}{3} [/tex]
[tex] x^{2} = 32[/tex]
[tex]x = \sqrt{32} [/tex]

2)Préciser à l'aide d'un calcul si la valeur approchée est par défaut ou par excès. 
[tex] \sqrt{32} [/tex] = 5,65685424949
En valeur approchée, MC = 5,65 
NM = [tex] \frac{5,65 * 3}{4} = 4,2375[/tex]
Aire = [tex] \frac{5,65}{2} [/tex] × 4,24 = 11,97 cm²
La valeur approchée est donc par défaut.

3)En déduire une réponse au problème posé. 
le point M sera positionné à 5,65685424949 du point C sur le segment BC
Le point N ∈ [AC] et sera positionné à 2,3431457505 perpendiculairement au segment [AB] puisque MN // AB

Important : vérifie bien tous les calculs car j'ai pu commettre une erreur !