Bonjour, pourriez-vous m'aider dans cet exercice ? merci d'avance ! Ps: le petit 1 est fait ! et pour la 3 et 4 je sais comment m'y prendre mais pour la 2, 5, 6
Question
Ps: le petit 1 est fait ! et pour la 3 et 4 je sais comment m'y prendre mais pour la 2, 5, 6 et 7, je ne vois pas !
Soit la parabole P d'équation y = x^2.
1) Soit a un réel non nul. Donner une équation de la tangente (T) à P au point M
d'abscisse a.
2) Déterminer les points d'intersection de (T) avec l'axe des abscisses (point N) et l'axe des ordonnées (point Q). En déduire que N est le milieu de [MQ].
3) Montrer qu'il existe un unique point M' de P, d'abscisse a', tel que la tangente (T') à P en M' soit perpendiculaire à (T).
4) Donnez une équation de (T').
5) Calculer en fonction de a les coordonnées du point d'intersection R des droites (T) et (T'). En déduire que R varie sur une droite fixe que l'on précisera.
6) Déterminer l'intersection F de la parallèle (D) à (T') passant par N et de l'axe des ordonnées.
7) Montrer que le point F', intersection de (D) avec la droite (D') d'équation x = a, est le symétrique de F par rapport à la droite (T).
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
(P) : f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x
1) a ≠ 0 et M(a ; f(a) soit M(a ; a²)
⇒ (T) : y = 2a(x - a) + a² = 2ax - a²
2) N(xN ; 0) ∈ (T)
⇒ 0 = 2axN - a²
⇔ xN = a²/2a = a/2
et Q(0 ; yQ) ∈ (T)
⇒ yQ = -a²
Soit : N(a/2 ; 0) et Q(0 ; -a²)
3) M' ∈ P ⇒ M'(a' ; a'²)
(T') : y = 2a'(x - a') + a'² = 2a'x - a'²
(T')⊥(T) ⇒ produit des coefficients directeurs = -1
Soit : 2a x 2a' = -1
⇔ a' = -1/4a
⇒ M' unique : M(-1/4a ; 1/(4a)²)
4) (T') : y = -x/2a - 1/(4a)²
5) R = (T)∩(T')
R(x ; y) ∈ (T) ⇒ y = 2ax - a²
R(x ; y) ∈ (T') ⇒ y = -x/2a - 1/(4a)²
⇒ 2ax - a² = -x/2a - 1/16a²
⇔ (2a + 1/2a)x = a² - 1/16a²
⇔ (4a² + 1)x = 2a(a² - 1/16a²)
⇔ (4a² + 1)x = (16a⁴ - 1)/8a
⇔ x = (16a⁴ - 1)/8a(4a² + 1)
⇔ x= (4a² - 1)(4a² + 1)/8a(4a² + 1)
⇔ x = (4a² - 1)/8a
et y = 2ax - a²
= 2a(4a² - 1)/8a - a²
= [2a(4a² - 1) - 8a³]/8a
= -2a/8a
= -1/4
⇒ R varie sur la droite horizontale d'équation y = -1/4
6) (D) : y = mx + p
(D)//(T') ⇒ m = -1/2a
et N(a/2 ; 0) ∈ (D) ⇒ (-1/2a) x (a/2) + p = 0
⇒ p = 1/4
⇒ (D) : y = -x/2a + 1/4
F(0 ; yF) ∈ (D)
⇒ yF = 1/4
⇒ F(0 ; 1/4)
7) je te la laisse...