Bjr besoin d’aide svp maths merci

Réponse :

Explications étape par étape

■ bonjour l' Ami !

■ f(x) = x + 1/x + Lnx/x² sur IR+ - { 0 }

■ 1a) Lim f(x) pour x --> 0+ :

        Lim (1/x) (1 + Lnx/x) = Lim (1/x) (Lnx/x) = - ∞ .

        La courbe C admet donc l' axe des y comme asymptote .

■ 1b) Lim f(x) pour x --> +∞ :

        Lim x = + ∞ .

■ 2°) Lim f(x) - x = Lim 1/x + Lnx/x² = 0 .

        donc la courbe C admet comme asymptote oblique la première bissectrice d' équation y = x ( la courbe restera au-dessus de cette asymptote pour x --> +∞ ) .

■ 3a) h(x) = x + Lnx :

         dérivée h ' (x) = 1 + 1/x toujours positive sur l' intervalle d' étude !

         tableau :

          x -->    0      0+      1       2,72         10       100      1000     +∞

       h(x) ->    ║      -∞      1       3,72        12,3      105      1007     +∞

■ 3b) x + Lnx = 0 donne Xo ≈ 0,56714329

                                       ( Xo ≈ 0,567 au millième prés ) .

■ 3c) h est bien positive pour x > Xo .

■ 4a) signe de f(x) - x ?

        = même signe que 1/x + Lnx/x²

        = même signe que (1/x²) (x + Lnx)

        = même signe que x + Lnx

        = même signe que h(x)

        donc positif pour x > Xo .

■ 4b) on a bien la courbe C au-dessus de la droite d' équation y = x .

■ 5°) f ' (x) = 1 - 1/x² + [ x - 2x Lnx ] / (x4)

                 = [ x³ - x + 1 - 2 Lnx ] / x³

        donc g(x) = x³ - x + 1 - 2Lnx .

■ 6°) g ' (x) = 3x² - 1 - 2/x = (3x³ - x - 2) / x = (x-1)(3x² + 3x + 2) / x

        cette dérivée est positive pour x > 1 ; et nulle pour x = 1 .

        g(1) = 1 .

        donc la valeur mini de g(x) est bien 1 .

■ 7°) tableau de la fonction f ( toujours croissante ) :

        x -->  0    0+   0,3    0,5182      1        2,72        5         10     +∞

      f(x) -> ��║    -∞   -10   -0,00015    2       3,22      5,26    10,1    +∞

■ 8°) je tracerais avec soin - au feutre fin - la courbe sur l' intervalle

         [ 0,3 ; +10 ] ; et la droite au crayon ! ☺