Bonjour, j'i besoin d'une réponse, merci. Le problème : Résoudre dans l'intervalle ]-Pi ; Pi] l'équation 2sin^2(x) + √3 cos(x) + 1 = 0. (on pourra poser X = cos

Réponse : Bonjour,

On sait que [tex]\cos^{2}x+\sin^{2}x=1 \Rightarrow \sin^{2}x=1-\cos^{2}x[/tex].

Donc en remplaçant dans l'équation, on a:

[tex]2(1-\cos^{2}x)+\sqrt{3}\cos(x)+1=0\\2-2\cos^{2}x+\sqrt{3}\cos(x)+1=0\\-2\cos^{2}x+\sqrt{3}\cos(x)+3=0[/tex].

En posant [tex]X=\cos x[/tex], l'équation devient:

[tex]-2X^{2}+\sqrt{3}X+3=0\\\Delta=(\sqrt{3})^{2}-4 \times (-2) \times 3=3+24=27\\X_{1}=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{27}}{2 \times (-2)} \quad X_{2}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{27}}{2 \times (-2)}\\X_{1}=\frac{-\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{-4} \quad X_{2}=\frac{-\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{-4}\\X_{1}=\frac{-4\sqrt{3}}{-4}=\sqrt{3} \quad X_{2}=\frac{2\sqrt{3}}{-4}=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].

On doit donc résoudre les deux équations suivantes:

[tex]\cos x=\sqrt{3} \quad et \quad \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\\x=\emptyset \: car \: \sqrt{3}>1 \quad \; \; x=\frac{5\pi}{6}[/tex].

Donc la seule solution de cette équation dans [tex]]-\pi;\pi][/tex] est [tex]\frac{5\pi}{6}[/tex].