Bonsoir. Pouvez-vous m’aider juste pour l’exercice 5? Je n’y arrive pas du tout. Cordialement

Réponse : Bonjour,

Exercice 5

1) [tex]f'(x)=e^{x}+-\frac{e^{x}}{(e^{x})^{2}}=e^{x}-\frac{1}{e^{x}}=\frac{e^{x}e^{x}-1}{e^{x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{x}}[/tex].

2) Le dénominateur de [tex]f'(x)[/tex], [tex]e^{x} >0[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

Donc [tex]f'(x)[/tex] est du signe de [tex]e^{2x}-1[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

On a:

[tex]e^{2x}-1 >0\\e^{2x}>1\\\ln(e^{2x}) > \ln(1)\\2x >0\\x>0[/tex].

On a donc le tableau suivant:

x         -∞                                   0                                  +∞

f'(x)                     -                     Ф                   +

f(x)    (décroissant)                 f(0)           (croissant)

3) D'après le tableau de variations, on voit que [tex]f[/tex] admet un minimum en [tex]x=0[/tex]. Donc pour tout [tex]x \in \mathbb{R}, f(x) \geq f(0)[/tex].

Et:

[tex]f(0)=e^{0}+\frac{1}{e^{0}}=1+1=2[/tex].

On en déduit que [tex]f(x)=e^{x}+\frac{1}{e^{x}}=e^{x}+e^{-x} \geq 2[/tex], pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].