Bonjour, est ce que vous pourriez m'aider dans ce DM de 1eS. Je dois le rendre de suite mais je suis bloquée sur un exercice. Pourriez vous m'aider ? On considè

Réponse : Bonsoir,

1) On note [tex]L[/tex] la longueur du rectangle, on a:

[tex]A=L \times l \Rightarrow L=\frac{A}{l}\\P(l)=2(L+l)=2(\frac{A}{l}+l)=2l+\frac{2A}{l}[/tex].

2) On calcule la dérivée [tex]P'(l)[/tex]:

[tex]P'(l)=2+2A(-\frac{1}{l^{2}})=2-\frac{2A}{l^{2}}=\frac{2l^{2}-2A}{l^{2}}=\frac{2(l^{2}-A)}{l^{2}}=\frac{2(l-\sqrt{A})(l+\sqrt{A})}{l^{2}}[/tex].

[tex]l^{2}>0[/tex], car un carré est toujours positif, donc [tex]P'(l)[/tex] est du signe de [tex](l-\sqrt{A})(l+\sqrt{A})[/tex].

Ce polynôme du second degré, a un discriminant supérieur à 0, car il a deux racines [tex]-\sqrt{A}[/tex] et [tex]\sqrt{A}[/tex]. Donc d'après les règles sur le signe d'un polynôme du second degré, on a le tableau suivant:

l       0                              [tex]\sqrt{A}[/tex]                               +∞

P'(l)                 -                Ф        +

P(là       (décroissant)    [tex]P(\sqrt{A})[/tex]      (croissant)

Donc pour [tex]l=\sqrt{A}[/tex], le périmètre P est minimal.

3) P est minimal si :

[tex]l=\sqrt{A} \Leftrightarrow l^{2}=A \Leftrightarrow l^{2}=L \times l \Leftrightarrow l=L[/tex].

Donc le périmètre du rectangle est minimal si la longueur du rectangle est égal à la largeur du rectangle, donc dans le cas où le rectangle est un carré.