Besoin d’aide pour ce DM sur les dérivées svp Est-ce que je dois d’abord trouver les fonctions des tangentes au point a puis ensuite trouver a tel qu’elles soit

Réponse : Bonjour,

Cf et Cg admettent des tangentes parallèles au point d'abscisse [tex]a[/tex], si [tex]f'(a)=g'(a)[/tex].

On a:

[tex]f'(a)=3a^{2}-2 \times 2a+2\\g'(a)=-2a+3[/tex].

Donc:

[tex]f'(a)=g'(a)\\3a^{2}-4a+2=-2a+3\\3a^{2}-2a-1=0\\\Delta=(-2)^{2}-4 \times 3 \times -1=4+12=16\\a_{1}=\frac{2-\sqrt{16}}{6} \quad a_{2}=\frac{2+\sqrt{16}}{6}\\a_{1}=-\frac{1}{3} \quad a_{2}=1[/tex].

Donc aux points d'abscisse [tex]-\frac{1}{3}[/tex] et 1, Cf et Cg ont des tangentes parallèles.

1) Au point d'abscisse [tex]a=-\frac{1}{3}[/tex].

La tangente à Cf au point d'abscisse [tex]-\frac{1}{3}[/tex] est:

[tex]y=f'(-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})+f(-\frac{1}{3})\\f'(-\frac{1}{3})=3 \times (-\frac{1}{3})^{2}-4 \times -\frac{1}{3}+2=3 \times \frac{1}{9}+\frac{4}{3}+2=\frac{1}{3}+\frac{4}{3}+\frac{6}{3}=\frac{11}{3}\\f(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^{3}-2 \times (-\frac{1}{3})^{2}+2 \times -\frac{1}{3}-1=-\frac{1}{27}-2 \times \frac{1}{9}-\frac{2}{3}-1=\frac{-1-6-18-27}{27}=-\frac{52}{27}[/tex]

Donc l'équation de la tangente Cf au point d'abscisse [tex]-\frac{1}{3}[/tex] est :

[tex]y=\frac{11}{3}(x+\frac{1}{3})-\frac{52}{27}=\frac{11}{3}x+\frac{11}{9}-\frac{52}{27}=\frac{11}{3}x+\frac{33-52}{27}=\frac{11}{3}x-\frac{19}{27}[/tex]

La tangente à Cg au point d'abscisse [tex]-\frac{1}{3}[/tex] est:

[tex]y=g'(-\frac{1}{3})(x+\frac{1}{3})+g(-\frac{1}{3})\\g'(-\frac{1}{3})=-2 \times -\frac{1}{3}+3=\frac{2}{3}+3=\frac{2+9}{3}=\frac{11}{3}\\g(-\frac{1}{3})=-(-\frac{1}{3})^{2}+3 \times -\frac{1}{3}+2=-\frac{1}{9}-1+2=\frac{-1-9+18}{9}=\frac{8}{9}\\y=\frac{11}{3}(x+\frac{1}{3})+\frac{8}{9}\\y=\frac{11}{3}x+\frac{11}{9}+\frac{8}{9}\\y=\frac{11}{3}x+\frac{19}{9}[/tex].

Je vous laisse calculer les tangentes à Cf et Cg au point d'abscisse 1 sur le même modèle.

Vous devez trouver [tex]y=x-1[/tex], pour [tex]f[/tex] et [tex]y=x+3[/tex] pour [tex]g[/tex].