Bonjour à tous! Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi [tex]log(e^{-i\pi })=i\pi[/tex] ? Et aussi brièvement pourquoi [tex]log(e^{z})=z[/tex] ssi [t

Réponse :

Explications étape par étape

■ le Log Népérien et l' Exponentielle

    sont des fonctions réciproques,

     donc ces deux fonctions se "neutralisent" !

■ Ln(exp(-iπ)) = -iπ . Pourquoi avoir enlevé le moins ??

■ remarque :

   parfois, on a :

   nombre complexe z = exp(-iπ) = cos(-π) + i sin(-π) = -1

    qui est un réel pur ! Le Log de (-1) est "impossible" !

■ avec z = a + ib :

   Log(exp(a+ib)) = Log( exp(a) * exp(ib) )

                           = Log(exp(a)) + Log(exp(ib))

                           = a + Log(cosb + i sinb) .

  on veut donc : a + Log(cosb + i sinb) = a + ib

                                  Log(cosb + i sinb) = ib

                                           Log(exp(ib)) = ib

                                                          ib  = ib

égalité toujours vérifiée !

la partie imaginaire de z , qui est représentée ici par b, devra être comprise entre -π et +π ( radians ) afin de rendre possible les calculs de cosb et sinb .