Bonsoir à tous ! voici mon dm de maths sur les nombres complexes niveau Ts que je dois rendre demain ... si quelqu'un peut m'aider en détaillant et expliquant b

Réponse :

(E)=z³+3z²+4z-8

Explications étape par étape

on note que z=1 est solution de E=0 donc E=(z-1)(az²+bz+c)

Pour déterminer les coef "a" , "b" et "c" soit :

*tu effectues la division euclidienne (z³+3z²+4z-8) par(z-1) et tu trouves un quotient q=z²+4z+8 et un reste=0

* tu développes et réduis le produit (z-1)(az²+bz+c)  puis tu compares les coefficients avec ceux de l'expression initiale de E .

(je préfère la division car pour moi c'est plus rapide)

2) les solutions de E=0 sont donc z1=1

et celles de z²+4z+8=0

delta=16-32=-16 ;  delta est <0 donc deux solutions complexes z2=(-4-4i)/2 =-2-2i  et z3=-2+2i

z1, z2, et z3 sont les affixes des points A, B et C de la question suivantes.

3) positionne ces points sur ton repère

4)A appartient à l'axe des abscisses C est le conjugué de B à priori ABC est isocèle en A

AB²=(xB-xA)²+(yB-yA)²=13   AB=+V13

de même AC=V13

quand à BC=4

ABC est bien isocèle en A

5) Iz+2+2iI=Iz-1I

posons z=a+ib

Z1=a+ib+2+2i =(a+2)+i(b+2)             et Z2=a+ib-1=(a-1)+ib

IZ1I²=(a+2)²+(b+2)² =a²+4a+4+b²+4b+4

 et IZ2I²=(a-1)²+b²=a²-2a+1+b²

IZ1²I=IZ2I² si 4a+4b+8=-2a+1 soit 6a+4b+7=0 ceci est l'équation cartésienne d'une droite

6)Z=(z-1)/(z+2+2i) posons z=a+ib

Z=(a+ib-1)/(a+ib+2+2i)=[(a-1)+ib]/[(a+2)+i(b+2)]

Multiplions par le conjugué

Z=[(a-1)+ib]*[(a+2)-i(b+2)] /D   (D est une valeur réelle différente de 0 pour simplifier les calculs je garde D car les calculs ne servent à rien pour la suite)

Z=(a-1)(a+2)+b(b+2)+i[b(a+2)-(b+2)(a-1)]/D

Z est imaginaire pur si la partie réelle =0

donc si (a-1)(a+2)+b(b+2)=0   soit a²-a+2a-2+b²+2b=0

a²+b²+a+2b-2=0  ceci est l'équation d'un cercle .

Vérifie mes calculs et détermine le centre et le rayon de ce cercle.

Réponse :

Explications étape par étape

■ z³ + 3z² + 4z - 8 = 0 donne (z-1) (z² + bz + 8) = 0 .

■ 1°)   (z-1) (z² + bz + 8) --> développons

            --> z³ + (b-1)z² + (8-b)z - 8

           --> par identification, on trouve b = 4 .

          conclusion : (z-1) (z² + 4z + 8) .

■ 2°) solutions :

       Zo = 1 ; cherchons les solutions complexes :

       Δ = b²-4ac = 16-32 = -16 = (4i)²

        d' où les solutions complexes :

         Z1 = (-4 - 4i)/2 = -2-2i ; Z2 = -2+2i .

■ 4°) il est évident que le triangle ABC est isocèle en A

         puisque les points B et C sont symétriques

          par rapport à l' axe des abscisses,

           et le point A appartient à cet axe des x .

■ 5°) on nous demande en fait l' Ensemble des points

         situés à égale distance des points A et B

          --> l' Ensemble cherché est donc la médiatrice

                                                        du segment [ AB ] .

        comme l' affixe du milieu de [ AB ] est -0,5 - i ;

         et comme l' équation de la droite (AB) est y = (2/3)x - (2/3)

           --> équation de la Médiatrice de [ AB ] est y = -1,5x - 1,75 .

■ 6°) on veut maintenant (z-1) / (z+2+2i) imaginaire PUR :

        (a-1 + ib) / ( a+2 + i(b+2) )

          = (a-1 + ib) * ( a+2 - i(b+2) ) / [ (a+2)²+(b+2)² ]

          = [ (a²+a-2+b²+2b) + i(ab+2b-ab-2a+b+2) ] / dénom

          = [ (a²+a-2+b²+2b) + i(3b-2a+2) ] / dénom

        on exige donc : a²+a-2+b²+2b = 0   ET   2a ≠ 3b+2

                                (a+0,5)² + (b+1)² = 3,25   ET a ≠ 1,5b+1

      la Solution F cherchée est donc un Cercle

        de Centre le milieu de [ AB ]

          et de Rayon = √(13/4) ≈ 1,8 .  

       il faudra penser à retirer les 2 points correspondants

         à (a = 1 ; b = 0) et (a = -2 ; b = -2) .

       vérif avec a = b = 0,5 :

         --> (z-1) / (z+2+2i) = 2,5i / 12,5 = i/5

                 qui est bien un imaginaire PUR !