Bonjour, j’ai besoin d’aide pour cet exercice de mon dm car je ne comprends rien sur ce chapitre... merci d’avance à ceux qui répondront

Réponse : Bonsoir,

Exercice 1

a) [tex]P(X \geq 1)=\int_{1}^{3} f(x) dx[/tex], cette intégrale est égale à l'aire comprise entre la courbe de f et l'axe des abscisses, et les droites d'équation [tex]x=1[/tex] et [tex]x=3[/tex].

Cette aire est un triangle de base 2 unités et de hauteur 0,5 unité. Donc cette aire est égale à [tex]\frac{2 \times 0,5}{2}=\frac{1}{2}[/tex], donc [tex]P(X \geq 1)=\frac{1}{2}[/tex].

b) [tex]P(0,5 < X < 3)=\int_{0,5}^{3} f(x) dx=\frac{1}{2}+0,5 \times 0,5=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}[/tex].

c) [tex]P_{(X \geq 1)}(0,5 < X <3)=\frac{P(0,5 < X <3 \cap X \geq 1)}{P(X \geq 1)}=\frac{P(X \geq 1)}{P(X \geq 1)}=1[/tex].

Exercice 2

1) Il faut montrer que [tex]\int_{0}^{1} 4x^{3} dx=4\int_{0}^{1} x^{3} dx=4[\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}=4(\frac{1^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4})=4(\frac{1}{4}-0)=1[/tex].

Donc [tex]f[/tex] est une fonction de densité de probabilité.

2) a) [tex]P(X < 0,5)=\int_{0}^{0,5} 4x^{3} dx=4\int_{0}^{0,5} x^{3} dx=4[\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{0,5}=4(\frac{0,5^{4}}{4}-\frac{0^{4}}{4})=0,5^{4}=(\frac{1}{2})^{4}=\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}[/tex].

b) [tex]P(0,2 < X < 0,8)=\int_{0,2}^{0,8} 4x^{3} dx[/tex], je vous laisse calculer l'intégrale, c'est le même principe que a).

c) [tex]P_{(X< 0,5)}(0,2 < X < 0,8)=\frac{P(0,2 < X < 0,8 \cap X < 0,5)}{P( X < 0,5)}=\frac{P(0,2 < X < 0,5)}{P(X < 0,5)}[/tex].

Il faut donc calculer [tex]P(0,2 < X < 0,5)=\int_{0,2}^{0,5} 4x^{3} dx[/tex], [tex]P(X < 0,5)[/tex] a été calculé dans la question a).