Aider moi svp pour la question 1

Réponse :

Explications étape par étape

A voir le haut de la page, je suppose qu'il faut exprimer cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos(x) et sin(x) en utilisant la formule de Moivre.

[tex]e^{3x}=\cos(3x)+i\sin(3x)\\e^{3x}=(e^x)^3=(\cos x+i\sin x)^3\\\Rightarrow\cos(3x)+i\sin(3x)=(\cos x+i\sin x)^3\\[/tex]

Il n'y a donc qu'à identifier les parties réelles et imaginaires

[tex]e^{3x}=\cos(3x)+i\sin(3x)\\e^{3x}=(e^x)^3=(\cos x+i\sin x)^3\\\Rightarrow\cos(3x)+i\sin(3x)=(\cos x+i\sin x)^3\\(\cos x+i\sin x)^3=\cos^3x+3i\cos^2x\sin x+3i^2\cos x\sin^2x+i^3\sin^3x\\\Rightarrow\cos(3x)+i\sin(3x)=\cos^3x+3i\cos^2x\sin x-3\cos x\sin^2x-i\sin^3x\\\Rightarrow\cos(3x)+i\sin(3x)=\cos^3x-3\cos x\sin^2x+i(3\cos^2x\sin x-sin^3x)\\[/tex]

Donc :

[tex]cos(3x)=\cos^3x-3\cos x\sin^2x=\cos x(\cos^2x-3\sin^2x)\\\sin(3x)=3\cos^2x\sin x-sin^3x=\sin x(3\cos^2x-\sin^2x)[/tex]

PS

Pour info

[tex](a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6[/tex]