Bonjour, pourriez-vous me venir en aide sur cet exercice! s'il vous plait ! Merci d'avance! (Je suis en première) ABCD est un carré de côté 1. A est le milieu d
Question
(Je suis en première)
ABCD est un carré de côté 1.
A est le milieu de [BA’]. B est le milieu de [CB’]. C est le milieu de [DC’]. D est le milieu de [AD’].
1. Exprimer vecteur A'B' et vecteur B'C' en fonction de vecteur AB et vecteur BC
2. Déterminer la nature du quadrilatère A’B’C’D’.
3. Exprimer le rapport des aires de A’B’C’D’ et de ABCD
1 Réponse
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1. Réponse aymanemaysae
Bonjour;
1.
A ' B ' = A ' B + B B '
= 2 A B + C B car A est le milieu de [B A '] et B milieu de [C B ']
= 2 A B - BC .
B ' C ' = B ' C + C C '
= 2 B C + D C car C est le milieu de [D C '] et B milieu de [C B ']
= 2 B C + A B car ABCD est un carré et D C = A B .
2.
Calculons tout d'abord D ' C ' :
D ' C ' = D ' D + D C '
= D A + 2 D C car D est le milieu de [D A '] et C milieu de [D C ']
= - A D + 2 D C = - B C + 2 A B car ABCD est un carré et A D = A B
et D C = AB.
On remarque que A ' B ' = D ' C ' , donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme .
On a tout d'abord : A B . B C = B C . A B = 0 car A B et B C sont orthogonaux (ABCD est un carré) .
On a : A ' B ' . B ' C ' = (2 A B - B C) . (2 B C + A B)
= 4 A B . B C + 2 A B . A B - 2 B C . B C - B C . A B
= 0 + 2 AB² - 2 BC² - 0 = 0 ;
donc A ' B ' et B ' C ' sont orthogonaux , donc A ' B ' C ' D ' est un rectangle .
On a en fin : A ' B ' ² = (2 A B - B C)² = 4 AB² + BC² - 4 AB . BC
= 4 AB² + AB² - 0 = 5 AB² ;
et B ' C ' ² = (2 B C + A B)² = 4 BC² + AB² + 4 B C . A B
= 4 AB² + AB² + 0 = 5 AB² ;
donc on a : A ' B ' ² = B ' C ' ² ; donc A ' B ' C ' D ' est un carré .
3.
ABCD est un carré donc son aire est : AB² , et A ' B ' C ' D ' est
aussi un carré , donc son aire est : B ' C ' ² ; donc le rapport des
aires est : (B ' C ' ²)/(A ' B ' ²) = 5 .