Bonsoir pouvez vous m'aider sur cet exercice de maths s'il vous plaît, c'est sur le produit scalaire, merci d'avance!

Réponse :

Explications étape par étape

1)

On a :

[tex]\vec{AI}=\vec{IB}=\frac{1}{2} \vec{AB}\\\Rightarrow \vec{MA}\cdot \vec{MB}=(\vec{MI}+\vec{IA})\cdot(\vec{MI}+\vec{IB})\\=\vec{MI}^2+\vec{MI}\cdot\vec{IA}+\vec{MI}\cdot\vec{IB}+\vec{IA}\cdot\vec{IB}\\=\vec{MI}^2+\vec{MI}\cdot(\vec{IA}+\vec{IB})-\vec{AI}\cdot\vec{IB}\\=\vec{MI}^2+\vec{MI}\cdot(\vec0)-(\frac{1}{2} \vec{AB})\cdot(\frac{1}{2} \vec{AB})\\\\\Rightarrow \vec{MA}\cdot \vec{MB}=\vec{MI}^2-\frac{\vec{AB}}{4}[/tex]

2)

[tex]||\vec{AB}||=2\RightarrowAB^2=4\\\left\{\begin{array}{ccc}\vec{MA}\cdot\vec{MB}=5\\\vec{MA}\cdot \vec{MB}=\vec{MI}^2-\frac{\vec{AB}}{4}\end{array}\right.\\\\\Rightarrow5=\vec{MI}^2-\frac{\vec{AB}}{4}=\vec{MI}^2-1\\\\\Rightarrow IM^2=6{\bf\quad\Rightarrow  IM=\sqrt6}[/tex]

3)

Tout point M se trouve donc à une distance égale à racine(6) du point I.

L'ensemble [tex]\Gamma[/tex] est donc un cercle de centre I et de rayon [tex]\sqrt6[/tex] (environ2,45)