20 POINTS !!! Bonsoir, pouvez-vous m'aider à faire ce petit exercice, s'il vous plaît ? Merci d'avance.​

on pose z=x+iy donc

z²=(x+iy)²=x²-y²+i2xy 

d'ou z²=-5+12i 

<=> x²-y²+i2xy=-5+12i 

<=> x²-y²+5+i(2xy-12)=0 

<=> x²-y²+5=0 et 2xy-12=0 

<=> x²-y²=-5 et xy=6 

<=> (x-y)(x+y)=-5 et xy=6 

5 premier donc divisible que par 1 ou lui même soit -5=(-1)*5 ou (1)*(-5) 

<=> x-y=-1 et x+y=5 et xy=6 

ou x-y=5 et x+y=-1 et xy=6 

<=> x=2+3i

Réponse :

Explications étape par étape

En passant sous la forme exponentielle ( ou trigonométrique, ça devient (presque) facile;

[tex]z_a=-5+12i\\|z_a|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\\\\z_a=13\,e^{i\theta}\quad\quad\theta=\arccos[-\frac{5}{13} )\quad(\theta\in[\frac{\pi}{2};\pi])\\[/tex]

Notre équation devient :

[tex]z^2=z_a\\[/tex]

et a donc 2 solutions :

[tex]z_1=\sqrt{13} e^{i\frac{\theta}{2}}\\\\z_2=\sqrt{13} e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}\\\\\text{avec}\quad\theta\approx1,965\,rd\approx113\°[/tex]