Bonjour, Dans le cadre d’un exercice sur les suites (1ereS) , comment simplifier le produit : q*q^3*q^5*...*q^97 ? Merci !

Réponse : Bonjour,

[tex]q \times q^{3} \times q^{5} \times ... \times q^{97}=q^{1+3+5+...+97}[/tex].

La somme [tex]1+3+5+...+97[/tex] est la somme d'une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme 1.

Appelons [tex](u_{n})[/tex] cette suite. Pour calculer la somme, il faut déterminer le nombre de termes à sommer, donc le rang de 97, dans la suite.

Appelons [tex]u_{0}=1[/tex], le premier terme de la suite, alors:

[tex]u_{n}=u_{0}+n \times 2=1+2n\\97=1+2n \Leftrightarrow 2n=96 \Leftrightarrow n=48[/tex].

97, occupe le rang [tex]n=48[/tex], en commençant par [tex]n=0[/tex].

Donc la somme [tex]1+3+5+...+97[/tex] contient 49 termes.

On a donc:

[tex]1+3+5+...+97=49 \times \frac{1+97}{2}=49 \times 49=2401[/tex].

Et donc:

[tex]q \times q^{3} \times q^{5} \times ... \times q^{97}=q^{2401}[/tex].