Voila le professeur de mathématique nous a posé le problème suivant : Sur une feuille de papier de 1m de côté donc un carré,de faire un pavé droit sans couvercl

Bonsoir,

Sur chaque coin de la feuille de papier, on découpe 4 carrés égaux de côtés x.

La contrainte pour x est :  0 ≤ x ≤ 1/2.

Par pliage des bords, nous pouvons avoir un pavé droit dont la base est un carré de côtés (1 - 2x) et de hauteur égale à x.

Le volume de ce pavé droit est donné par : aire de la base * hauteur du prisme.

V(x) = (1-2x)² * x
V(x) = (1 - 4x + 4x²) * x
V(x) = x - 4x² + 4x^3

Calculons la dérivée : 

V'(x) = 1 - 8x + 12x².
V'(x) = 12x² - 8x + 1

Etudions le signe de cette dérivée.

Racines : 

[tex]\Delta = (-8)^2-4\times12\times1 = 64-48=16\\\\x_1=\dfrac{8-\sqrt{16}}{24}=\dfrac{1}{6}\\\\x_2=\dfrac{8+\sqrt{16}}{24}=\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{6}&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\ V'(x)&&+&0&-&0&+& \\ V(x)&&\nearrow&\dfrac{2}{27}&\searrow&0&\nearrow& \\\end{array}[/tex]

Or x ∈ [0 ; 1/2]

D'où,

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&0&&\dfrac{1}{6}\approx0,17&&\dfrac{1}{2}&&\\ V(x)&0&\nearrow&\dfrac{2}{27}\approx0,074&\searrow&0&&\\\end{array}[/tex]

Par conséquent, le volume du pavé droit sera maximal si, à partir de chaque coin de la feuille de papier, on découpe des carrés dont les côtés ont une longueur de 1/6 m, soit environ 16 cm