Bonjour, je dois faire un exercice mais je bloque sur la question avec la suite (bn). Pourriez-vous m’expliquer svp

Réponse : Bonjour,

Pour étudier les variations de la suite [tex](b_{n})[/tex], il faut considérer la fonction [tex]f(x)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}[/tex].

On calcule la dérivée [tex]f'(x)[/tex]:

[tex]f'(x)=\frac{1}{2}+2 \times -\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{2}-\frac{2}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{2x^{2}}=\frac{(x-2)(x+2)}{2x^{2}}[/tex].

[tex]f'(x)[/tex] est du signe du numérateur, car [tex]2x^{2}>0[/tex] sur [tex]\mathbb{R}^{*}[/tex].

On rappelle que l'on travaille sur [tex]\mathbb{R}_{+}^{*}[/tex], car l'indice [tex]n[/tex] est un entier strictement positif.

Donc:

x       0                              2                                        +∞

x-2                  -                 Ф                  +

x+2                 +                                      +

f'(x)  ║            -                 Ф                  +

f(x)   ║  (décroissant)           (croissant)

On en déduit donc que pour [tex]n[/tex] compris entre 1 et 2, la suite [tex](b_{n})[/tex] est décroissante, puis pour [tex]n>2[/tex], la suite [tex](b_{n})[/tex] est croissante.