bonjour, soit [tex]f(x) = \frac{3{x}^{2} + ax + b}{ {x}^{2} + 1} [/tex] et C sa courbe représentative dans le plan munit d'un repère déterminer les réels a e

Bonjour;

[tex]f'(x)=\dfrac{(6x+a)(x^2+1)-2x(3x^2+ax+b)}{(x^2+1)^2} \\\\\\=\dfrac{6x^3+6x+ax^2+a-6x^3-2ax^2-2bx}{(x^2+1)^2}\\\\\\=\dfrac{-ax^2+2(3-b)x+a}{(x^2+1)^2}\ ;[/tex]

donc :

[tex]f'(1)=\dfrac{6-2b}{4}\ ;[/tex]

et comme la tangente à Cf au point I(1 ; 7) est la droite d'équation :

y = 4x + 3 ; donc on a : f ' (1) = 4 ; donc : (6 - 2b)/4 = 4 ; donc : 6 - 2b = 16 ;

donc : - 2b = 10 ; donc : b = - 5 .

On a donc : f(1) = (3 + a - 5)/2 = (a - 2)/ 2 ; et comme le point où Cf rencontre

la tangente est I(1 ; 7) , donc on a : f(1) = 7 ; donc : (a - 2)/2 = 7 ;

donc : a - 2 = 14 ; donc : a = 16 ; donc la fonction f a pour expression

algébrique :

[tex]f(x) = \dfrac{3x^2+16x-5}{x^2+1}\ .[/tex]

Réponse :

Explications étape par étape

[tex]f(x)=\frac{3x^2+ax+b}{x^2+1}[/tex]

On va chercher une expression de la dérivée (forme u/v ==> f'=(u'v-uv')/v²

[tex]u=3x^2+ax+b\quad\quad u'=6x+a\\v=x^2+1\quad\quad\quad\quad\quad v'=2x\\f'(x)=\frac{(6x+a)(x^2+1)-(2x)(3x^2+ax+b)}{(x^2+1)^2}[/tex]

Il est inutile d'aller plus loin puisqu'on cherche les valeurs de a et b en sachant que f(1)=7 et f'(1)=4

[tex]\left\{\begin{array}{l}f(1)=\frac{3+a+b}{2}=7\\f'(1)=\frac{2(6+a)-2(3+a+b)}{4}=4\end{array}\right.\\\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}3+a+b=14\\\frac{12+2a-6-2a-2b}{4}=4\end{array}\right.\\\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=11-b\\6-2b=16 \end{array}\right.\\\\\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=16\\b=-5 \end{array}\right.\\[/tex]

En conclusion, et comme tu peux le vérifier sur le graphe joint :

a=16 ; b=-5