Bonsoir, je suis en 1ere S et je dois rentre cet exercice de DM en maths pour lundi. Je suis bloqué. Pouvez vous m'aider? Merci.

Réponse :

Un+1 = 0.9Un + 90

U0 = 1000

1) calculer U1 et U2

U1 = 0.9 x U0 + 90

    = 0.9 x 1000 + 90 = 990

U2 = 0.9U1 + 90

     = 0.9 x 990 + 90 = 981

2) Vn = Un - 900

a) calculer V0 et V1

V0 = U0 - 900

     = 1000 - 900 = 100

V1 = U1 - 900

    = 990 - 900 = 90

b) montrer que pour tout n

Vn+1 = 0.9Vn

Vn+1 = Un+1 - 900

        = 0.9Un + 90 - 900

        = 0.9Un - 810

  or Vn = Un - 900 ⇒ Un = Vn + 900

Vn+1 = 0.9(Vn+90) - 810

        = 0.9Vn + 810 - 810

        = 0.9Vn

c) Vn est une suite géométrique de raison q = 0.9 et de premier terme V0 = 100

Donc  Vn = V0 x qⁿ

                = 100 x (0.9)ⁿ

3) en déduire pour tout n   Un = 100 x (0.9)ⁿ + 900

Vn = Un - 900 ⇒ Un = Vn + 900

                                  = 100 x (0.9)ⁿ + 900

4) lorsque n tend vers  + ∞  (0.9)ⁿ tend vers 0

et Un = 900

A partir de quel nombre entier n a t-on  Un ≤ 901

100 x (0.9)ⁿ + 900 ≤ 901  ⇔ 100 x (0.9)ⁿ ≤ 1 ⇔ (0.9)ⁿ ≤ 1/100

nln(0.9) ≤ ln(0.01) ⇒ n ≤ ln(0.01)/ln(0.9) ⇒ n ≥ 43

Explications étape par étape