Bonjour pouvez vous m'aidez pour DM de math fonction dérivée merci a tous

Il y a beaucoup de fonctions à traiter avec à chaque fois le même principe pour répondre à la même question alors je vais te détailler étape par étape la comment traiter la question avec la première fonction proposée:

f:x -> 1 / (x**2 - 10**-9)

Dans un premier temps, nous allons établir le domaine de définition de la fontion. La fonction n'est pas définie lorsque le dénominateur s'annule.

Il faut donc que x**2 - 10**-9 != 0 (!= signifie n'est pas égal à)

cela équivaut à x = racine( 10**-9) et x = -racine(10**-9).

L'ensemble de définition de la fonction est donc le corps des réels privé de racine(10**-9) et -racine(10**-9).

Dans un second temps, il faut étudier les limites aux bornes des intervalles où la fonction est définie.

Il faudra donc regarder la limite en racine(10**-9) avec x > racine(10**-9) (1) puis avec x < racine(10**-9) (2)

Limite en -racine(10**-9), x > -racine(10**-9) (3) et x<-racine(10**-9) (4)

Enfin, les limites en +oo (5) et -oo (6)

(1): La limite est +oo (détail des calculs sur demande)

(2): La limite est -oo (détail des calculs sur demande)

(3): La limite est -oo (détails des calculs sur demande)

(4): La limite est +oo (détails des calculs sur demande)

(5) et (6): La limite est 0.

Ensuite il va falloir dériver la fonction f:

pour tout réel x différent de racine(10**-9), -racine(10**-9):

f est dérivable par inverse et

f'(x) = -2*x / (x**2 - 10**-9)**2

On établit ensuite le tableau de signe de f':

pour x > 0: f'(x) < 0

pour x <0: f'(x) > 0

On a donc f croissante pour x > 0 et décroissante pour x < 0

Dernière étape:

On calcule la valeur de f lorsque sa dérivée d'annule pour changer de signer: ici en 0:

f(0) = 10**9

On fait le tableau en mettant pour valeur de x les bornes du domaine de définition avec des double barres pour les valeurs où f n'est pas définie, on met des flèches qui montent lorsque f est croissante, flèche qui déscend lorsque f est décroissante et on ajoute les différentes valeurs des limites aux bons endroits.

Pour trouver combien de fois la fonction s'annule, il suffit de regarder pour chaque morceau de flèche si la fonction change de signe ou non. Par continuité de f sur ce segment, on pourra dire que f s'y annule.

Voilà, j'espère que ça t'aidera, c'est quelque chose d'assez long à faire et qui demande de la rigueur mais ce n'est pas très compliqué et c'est toujours la même chose.