Soit a un réel, P la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x)= -x^2 + ax+1, et (d) la droite d’équation y=-4x+10. Existe-t-il une valeur de

Réponse :

il existe bien deux valeurs de a pour que la droite (d)

soit tangente à la Parabole --> a = -10   OU   a = 2 .

Explications étape par étape :

■ f(x) = -x² + ax + 1 donne la dérivée f ' (x) = -2x + a

■ résolvons : -x² + ax + 1 = -4x + 10   ET   -2x + a = -4

                     -x² + ax + 1 = -4x + 10    ET   a = 2x - 4

                     -x² + (2x-4)x + 1 = -4x + 10

                     -x² + 2x² - 4x + 1 = -4x + 10

                                           x² = 9

                                 x = -3   OU   x = +3

                     d' où a = -10   OU   a = 2

■ vérif avec a = -10 :

   f(x) = -x² - 10x + 1 donne f ' (x) = -2x - 10

   résolvons : -x² - 10x + 1 = -4x + 10   ET   -2x - 10 = -4

                                  -x² - 6x - 9 = 0   ET   -2x = 6

                                                           x = -3 .

   (d) tangente à (P) en ( -3 ; +22 ) .

■ vérif avec a = 2 :

   f(x) = -x² + 2x + 1 donne f ' (x) = -2x + 2

   résolvons : -x² + 2x + 1 = -4x + 10   ET   -2x + 2 = -4

                                -x² + 6x - 9 = 0   ET   -2x = -6

                                                          x = 3 .

   (d) tangente à (P) en ( 3 ; -2 ) .

■ conclusion :

il existe bien deux valeurs de a pour que la droite (d)

soit tangente à la Parabole --> a = -10   OU   a = 2 .