Bonjour , vous pourriez m'aider s'il vous plait ! •Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v) Soient A , B et C trois points du plan ,

Réponse : Bonjour,

A) [tex]|z_{B}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\|z_{C}|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\[/tex].

Si [tex]\theta=\arg(z_{B}) \; [2\pi][/tex], alors:

[tex]\cos(\theta)=\frac{2}{2\sqrt{2}} \quad \sin(\theta)=\frac{2}{2\sqrt{2}}\\\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}  \quad \sin(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\Donc \: \theta=\frac{\pi}{4} \; [2\pi][/tex].

Donc [tex]\arg(z_{B})=\frac{\pi}{4} \; [2\pi][/tex].

Si [tex]\theta=\arg(z_{C}) \; [2\pi][/tex], alors:

[tex]\cos(\theta)=\frac{2}{2\sqrt{2}} \quad \sin(\theta)=-\frac{2}{2\sqrt{2}}\\\cos(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \sin(\theta)=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\Donc \; \theta=-\frac{\pi}{4} \; [2\pi][/tex].

Donc [tex]\arg(z_{C})=-\frac{\pi}{4} \; [2\pi][/tex].

B) Pour montrer que OBC est isocèle en O, il faut montrer que OB=OC, donc:

[tex]OB=|z_{B}-z_{O}|=|z_{B}|=2\sqrt{2}\\OC=|z_{C}-z_{O}|=|z_{C}|=2\sqrt{2}[/tex].

Donc OB=OC, le triangle OBC est isocèle en O.

Pour montrer que le triangle OBC est rectangle en O, il faut montrer que l''angle orienté [tex](\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC})=\frac{\pi}{2} [\pi][/tex].

Donc:

[tex](\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC})=\arg(\frac{z_{C}-z_{O}}{z_{B}-z_{O}})=\arg(\frac{z_{C}}{z_{B}}).\\\frac{z_{C}}{z_{B}}=\arg(z_{C})-\arg(z_{B})=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}[/tex].

Donc [tex](\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC})=-\frac{\pi}{2}[/tex], ce qui montre que le triangle OBC est rectangle en O.

Conclusion: Le triangle OBC est rectangle isocèle en O.