Bonsoir problème nombres dérivés merci pour votre aide

Réponse : Bonsoir,

a) Une équation de la tangente [tex]T_{a}[/tex] à C au point M est:

[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)\\f'(a)=-\frac{1}{a^{2}}\\donc \; y=-\frac{1}{a^{2}}(x-a)+\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}=-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{2}{a}[/tex].

b) La droite [tex]T_{a}[/tex] coupe l'axe des abscisses en A, donc:

[tex]-\frac{1}{a^{2}}x+\frac{2}{a}=0\\-\frac{1}{a^{2}}x=-\frac{2}{a}\\\frac{1}{a^{2}}x=\frac{2}{a}\\x=\frac{\frac{2}{a}}{\frac{1}{a^{2}}}=\frac{2}{a} \times \frac{a^{2}}{1}=2a[/tex].

Donc le point A a pour coordonnées [tex]A(2a;0)[/tex].

La droite [tex]T_{a}[/tex] coupe l'axe des ordonnées en B, donc:

[tex]-\frac{1}{a^{2}} \times 0+\frac{2}{a}=\frac{2}{a}[/tex].

Donc le point B a pour coordonnées [tex]B(0;\frac{2}{a})[/tex].

Donc le milieu du segment [AB] a pour coordonnées:

[tex](\frac{2a+0}{2};\frac{0+\frac{2}{a}}{2})=(a;\frac{2}{a} \times \frac{1}{2})=(a;\frac{1}{a})[/tex].

Or puisque [tex]M \in C[/tex], [tex]M(a;\frac{1}{a})[/tex], donc M est le milieu du segment [AB]