Bonjour pourrez m'aider pour mon exercice de loi binominale car je n'avais pas pu être en cours et je ne comprend donc rien : Dans un jeu de 32 cartes, on tire
Question
On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de figures obtenues à l'issue
de ces trois tirages. Justifiez que cette situation est un schéma de Bernoulli et en préciser les paramètres. Faites un arbre pondéré (en faisant apparaître les issues). Déterminez la probabilité de l'événement X=2 de deux façons. Déterminez et interprétez l'espérance de X.
1 Réponse
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1. Réponse scoladan
Bonjour,
la probabilité de tirer 1 figure (valet, dame, roi) dans un jeu de 32 cartes est de : 12/32 = 3/8
Comme les 3 tirages successifs s'effectuent avec remise, ils ont la même probabilité.
A chacun des 3 tirages, on a 2 issues possibles : Figure (réussite) ou non figure (échec).
La situation est donc un schéma de Bernoulli.
Et la variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 3/8 = 0,375
Donc : p(X = a) = (Combinaisons de a parmi n) x pⁿ x (1 - p)ⁿ⁻ᵃ
On en déduit :
p(X = 2) = (Combinaisons de 2 parmi 3) x (3/8)² x (1 - 3/8)¹
soit p(X = 2) = 3 x 9/64 x 5/8 ≈ 0,2637
Autre raisonnement :
p(X = 2) = 1 - p(X = 0) - p(X = 1) - p(X = 3)
p(X = 0) = 1 x 0,375⁰ x 0,625³ = 0,625³ ≈ 0,2441
p(X = 1) = 3 x 0,375¹ x 0,625² ≈ 0,4395
p(X = 3) = 1 x 0,375³ x 0,625⁰ = 0,375³ ≈ 0,0527
⇒ p(X = 2) = 1 - 0,2441 - 0,4395 - 0,0527 = 0,2637
E(X) = n x p = 3 x 3/8 = 1,125
En moyenne, on va obtenir 1,125 figure en tirant 3 cartes avec remise dans un jeu de 32 cartes.