salut je veux de l'aide j'ai un ptit exos que j'arrive pas le voici: Démontrer par récurrence que, par touts nombres réels a1,a2,...,an strictement positifs: ln

Bonsoir,

Nous savons que pour tous les réels r et s strictement positifs, alors ln(rs) = ln(r) + ln(s).

Démontrons par récurrence que  [tex]ln\ (a_1a_2...a_n)= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)[/tex]

Initialisation

[tex]ln\ (a_1a_2) = ln\ (a_1) + ln\ (a_2)[/tex]  (en utlisant la propriété énoncée)

Hérédité

Démontrons que si la relation est vraie au rang n, alors elle est encore vraie au rang (n+1),

c'est-à-dire 

Démontrons que si [tex]ln\ (a_1a_2...a_n)= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)[/tex]
Alors  [tex]ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)+ ln\ (a_{n+1})[/tex]

En effet, 

[tex]ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})=ln\ [(a_1a_2...a_n)\times a_{n+1}][/tex]

[tex]ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})=ln\ (a_1a_2...a_n)+ln\ a_{n+1}[/tex]  (en utlisant la propriété énoncée)


 [tex]ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})= [ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)]+ ln\ (a_{n+1})[/tex] 
(en utlisant l'hypothèse de récurrence)

Par conséquent,

[tex]ln\ (a_1a_2...a_na_{n+1})=ln\ (a_1a_2...a_n)+ln\ a_{n+1}[/tex] 

L'initialisation étant démontrée ainsi que l'hérédité, nous en déduisons que

[tex]ln\ (a_1a_2...a_n)= ln\ (a_1) + ln\ (a_2) + ...+ ln\ (a_n)[/tex]

 pour tous nombres réels a1,a2,...,an strictement positifs